Urodził się w Łodzi, 11 czerwca 1897 roku, w średnio zamożnej rodzinie o korzeniach żydowskich. Jego wczesna twórczość dzieli się na dwa równoległe nurty, które szybko stają się nierozłączne. Pierwszy – osadzony w tradycji polskiej, z nawiązaniem do Chopina, drugi – awangardowy, wykraczający poza dominujące podówczas upodobania. Już w 1916 roku młody kompozytor stosuje technikę politonalną (Album polski) i pisze muzykę atonalną (I Kwartet smyczkowy, 1917).
8 stycznia 1919 roku w Warszawie zwycięża pierwszy w niepodległej Polsce konkurs kompozytorski. Mimo to jego twórczość spotyka się z gwałtownymi atakami krytyki. Decyduje się rozwijać karierę we Francji. Jesienią 1919 roku premier Ignacy Jan Paderewski udziela mu zgody na wyjazd. W Paryżu jego utwory z entuzjazmem i uznaniem przyjmują Maurice Ravel oraz Albert Roussel, Florent Schmitt i środowisko czołowego czasopisma muzycznego Europy „La Revue musicale”. Pierwszymi dyrygentami promującymi jego muzykę są Vladimir Golschmann i Rhené-Baton. Obok Igora Strawińskiego i Grupy Sześciu jest współtwórcą neoklasycyzmu w muzyce światowej i pierwszym reprezentantem tej orientacji w muzyce polskiej. Z czasem staje się również jednym z najważniejszych przedstawicieli École de Paris, obok Bohuslava Martinů, Tibora Harsányi’ego, Marcela Mihalovici, Aleksandra Czerepnina i Conrada Becka.
Krytycy i muzykolodzy zwracają uwagę na jego kunszt kompozytorski, mistrzostwo w instrumentacji i operowaniu orkiestrą. Wskazują na szczególny i coraz bardziej wyrazisty styl, w którym zniewalający koloryt, płomienny liryzm i bujna inwencja melodyczna łączą się z idealną przejrzystością, elegancją i precyzją konstrukcji. Podkreślają wyrafinowanie języka harmonicznego, w tym właściwy tylko jego muzyce akord, ze względu na rozpiętość i zagęszczenie w górnym rejestrze zwany „drapaczem chmur” (gratte-ciel) oraz indywidualny sposób kształtowania formy, za sprawą wprowadzenia zasady tak zwanych „mostów” (ponts transitoires). W połowie lat 20. zyskuje w Europie uznanie jako czołowy, obok Karola Szymanowskiego, przedstawiciel nowej polskiej szkoły kompozytorskiej.
Kariera Tansmana rozwija się bardzo dynamicznie. Jego dziełami dyrygują tak wybitni artyści, jak Arturo Toscanini, Willem Mengelberg, Sir Henry Wood, Pierre Monteux, Otto Klemperer, Siergiej Kusewicki, Leopold Stokowski, Erich Kleiber, Walther Straram, Sir Adrian Boult, Hermann Abendroth. Tansman jest drugim polskim kompozytorem po Ignacym Janie Paderewskim, którego dzieło sceniczne – balet Sextuor pod dyrekcją Tullio Serafina – wystawiono w Metropolitan Opera (1927).
W 1931 roku w Paryżu ukazuje się książka Irvinga Schwerkego Alexandre Tansman, compositeur polonais, zawierająca katalog utworów i poświęcona estetyce twórczości oraz stylowi kompozytora. Ważnym etapem na jego drodze okazuje się również sezon 1932-1933: pełny rok bezprecedensowego tournée koncertowego dookoła świata, od Stanów Zjednoczonych, przez Japonię, Hongkong, po Indonezję, Singapur, Cejlon, Indie, Egipt. W Tokio przyjmuje go cesarz Hirohito, w Bombaju – Mahatma Gandhi. Ponadto do 1939 roku odbywa pięć wielkich tras koncertowych po USA.
W czerwcu 1938 roku prezydent Albert Lebrun przyznaje mu obywatelstwo francuskie. Wojnę spędza w Los Angeles. W ucieczce z okupowanej Francji twórcy i jego rodzinie pomaga Charlie Chaplin. W Beverly Hills tworzy krąg z Igorem Strawińskim, Thomasem Mannem, Aldousem Huxleyem, Adolphem Bolmem, Emilem Ludwigiem, Lionem Feuchtwangerem. Owocem przyjaźni ze Strawińskim będzie jedna z najcenniejszych książek o jego twórczości (Igor Stravinsky, 1948). W ciągu sześciu lat powstaje kilkadziesiąt dzieł, w tym dedykowana obrońcom Warszawy Rapsodia polska, kolejne cykle mazurków na fortepian, V Symfonia, balet La Grande Ville czy VI Kwartet smyczkowy. Życie w Ameryce owocuje także muzyką do kilku filmów. Tansman to pierwszy polski artysta nominowany do Oscara za „muzykę oryginalną” (do Paris Underground Gregory'ego Ratoffa, 1945).
